HOMOTECIA

Homotecias

	Cuando cambias una figura de tamaño se hace más grande omás pequeño.
		... pero es similar:
		los ángulos no cambian los tamaños relativos son los mismos (por ejemplo la cabeza y el cuerpo mantienen la proporción)

Nota: aquí llamamos a esto homotecia, pero otros lo llaman dilatación, contracción, compresión, alargamiento o reescala. La misma idea con otros nombres.

Para cambiar el tamaño, haz lo siguiente con cadaesquina: dibuja una línea del punto central a la esquina aumenta (o disminuye) la longitud de esa línea marca el nuevo punto ¡Ya sólo tienes que unir esos nuevos puntos!

Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón (λ) diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado centro de la transformación.

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo . Sea X un elemento (visto como un punto) de E.
 La homotecia de centro C y de razón k, denotada  envía un punto M del espacio vectorial sobre el
 punto M' tal que:

(1a)

La ecuación anterior puede escribirse también como una transformación afín de la forma:

(1b)

La anterior relación puede escribirse vectorialmente en el plano como:

Donde: ,  y .
En tres o más dimensiones la fórmula anterior se generaliza trivialmente.

Homotecia, de centro el punto C y razón el número real k ≠ 0, es una transformación geométrica que hace 
corresponder a cada punto P otro punto P′ tal que (el vector es igual al resultado de multiplicar el vector por
 el número k). Si k es positivo, P′ está en la semirrecta de origen C que pasa por P.

Propiedades

La homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente conserva:

1. el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura
2. el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
3. el paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (BE) // (CD) porque (BE) //(CD).

Además la homotecia conserva:

1. el cociente de longitudes: A'C'/B'E' = AC/BE en la figura
2. los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.

Más aún:

1. La imagen de una recta es otra recta paralela.
2. Todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
3. Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos).
4. Si k ≠ 0,  a B   (cuandoes:  o  = .
5. Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k'≠1, y una traslación si k·k'=1. Se dice que el conjunto de las homotecias (con k≠0) y las translaciones forman un grupo.
6. k = - 1 corresponde a la simetría de centro C, o una rotación alrededor de C de ángulo π radianes (180º).
7. |k| > 1 implica una ampliación de la figura.
8. |k| < 1 implica una reducción.
9. k < 0 se puede interpretar como la composición de una simetría de centro Ω con una homotecia sin inversión.

Homotecias en el plano

Consideremos la homotecia en la cual la recta OA se transforma en la recta O'B, siendo O' el homólogo de O y B el homólogo de A. Necesariamente, las rectas OO' y AB son invariantes en esta homotecia y el punto H1, centro de la homotecia, es invariante. En esta homotecia la circunferencia de centro O y radio OA se transforma en la circunferencia de centro O' y de radio O'B y la razón de la homotecia es la razón (positiva) de los segmentos O'B y OA.

Una homotecia en el plano es una transformación del plano en sí mismo en donde una recta y
 su homóloga son paralelas. De esta definición, se sigue fácilmente que las homotecias 
conservan ángulos, es decir son transformaciones conformes del plano, que el conjunto 
de homotecias forman un grupo y que las traslaciones son casos particulares de las 
homotecias.

Si por el contrario, el punto A se transforma en B' entonces la recta AB' es invariante y es el 
punto H2 el centro de homotecia. En este caso, la razón de la homotecia es negativa.

Ejes de homotecia

Dadas dos circunferencias, éstas siempre se pueden considerar como homotéticas una de la
 otra.

En la figura, la circunferencia S2 puede considerarse homotética de s1 bien es en la homotecia
 de razón positiva, con centro en P1, o de razón negativa, con centro de homotecia en N1.

Consideremos las homotecias, una con centro en P1 en la cual la circunferencia S2 es 
homotética de la circunferencia s1, y la homotecia de centro P3 en la que la circunferencia 
s3 es homotética a la circunferencia s2. La composición de estas dos homotecias es la
 homotecia de centro en P2 que transforma la circunferencia s1 en la circunferencia s3.
 Es por esta razón que los centros de homotecia positivos, P1, P2 y P3 están alineados. 
En general, dadas tres circunferencias existen seis centros de homotecia, alineados tres 
a tres sobre cuatro rectas.

Estas rectas son las llamadas ejes de homotecia de las tres circunferencias dadas.