HOMOTECIA

Homotecias

	Cuando cambias una figura de tamaño se hace más grande omás pequeño.
		... pero es similar:
		los ángulos no cambian los tamaños relativos son los mismos (por ejemplo la cabeza y el cuerpo mantienen la proporción)

Nota: aquí llamamos a esto homotecia, pero otros lo llaman dilatación, contracción, compresión, alargamiento o reescala. La misma idea con otros nombres.

Para cambiar el tamaño, haz lo siguiente con cadaesquina: dibuja una línea del punto central a la esquina aumenta (o disminuye) la longitud de esa línea marca el nuevo punto ¡Ya sólo tienes que unir esos nuevos puntos!

Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón (λ) diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado centro de la transformación.

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo . Sea X un elemento (visto como un punto) de E.
 La homotecia de centro C y de razón k, denotada  envía un punto M del espacio vectorial sobre el
 punto M' tal que:

(1a)

La ecuación anterior puede escribirse también como una transformación afín de la forma:

(1b)

La anterior relación puede escribirse vectorialmente en el plano como:

Donde: ,  y .
En tres o más dimensiones la fórmula anterior se generaliza trivialmente.

Homotecia, de centro el punto C y razón el número real k ≠ 0, es una transformación geométrica que hace 
corresponder a cada punto P otro punto P′ tal que (el vector es igual al resultado de multiplicar el vector por
 el número k). Si k es positivo, P′ está en la semirrecta de origen C que pasa por P.

Propiedades

La homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente conserva:

1. el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura
2. el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
3. el paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (BE) // (CD) porque (BE) //(CD).

Además la homotecia conserva:

1. el cociente de longitudes: A'C'/B'E' = AC/BE en la figura
2. los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.

Más aún:

1. La imagen de una recta es otra recta paralela.
2. Todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
3. Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos).
4. Si k ≠ 0,  a B   (cuandoes:  o  = .
5. Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k'≠1, y una traslación si k·k'=1. Se dice que el conjunto de las homotecias (con k≠0) y las translaciones forman un grupo.
6. k = - 1 corresponde a la simetría de centro C, o una rotación alrededor de C de ángulo π radianes (180º).
7. |k| > 1 implica una ampliación de la figura.
8. |k| < 1 implica una reducción.
9. k < 0 se puede interpretar como la composición de una simetría de centro Ω con una homotecia sin inversión.

Homotecias en el plano

Consideremos la homotecia en la cual la recta OA se transforma en la recta O'B, siendo O' el homólogo de O y B el homólogo de A. Necesariamente, las rectas OO' y AB son invariantes en esta homotecia y el punto H1, centro de la homotecia, es invariante. En esta homotecia la circunferencia de centro O y radio OA se transforma en la circunferencia de centro O' y de radio O'B y la razón de la homotecia es la razón (positiva) de los segmentos O'B y OA.

Una homotecia en el plano es una transformación del plano en sí mismo en donde una recta y
 su homóloga son paralelas. De esta definición, se sigue fácilmente que las homotecias 
conservan ángulos, es decir son transformaciones conformes del plano, que el conjunto 
de homotecias forman un grupo y que las traslaciones son casos particulares de las 
homotecias.

Si por el contrario, el punto A se transforma en B' entonces la recta AB' es invariante y es el 
punto H2 el centro de homotecia. En este caso, la razón de la homotecia es negativa.

Ejes de homotecia

Dadas dos circunferencias, éstas siempre se pueden considerar como homotéticas una de la
 otra.

En la figura, la circunferencia S2 puede considerarse homotética de s1 bien es en la homotecia
 de razón positiva, con centro en P1, o de razón negativa, con centro de homotecia en N1.

Consideremos las homotecias, una con centro en P1 en la cual la circunferencia S2 es 
homotética de la circunferencia s1, y la homotecia de centro P3 en la que la circunferencia 
s3 es homotética a la circunferencia s2. La composición de estas dos homotecias es la
 homotecia de centro en P2 que transforma la circunferencia s1 en la circunferencia s3.
 Es por esta razón que los centros de homotecia positivos, P1, P2 y P3 están alineados. 
En general, dadas tres circunferencias existen seis centros de homotecia, alineados tres 
a tres sobre cuatro rectas.

Estas rectas son las llamadas ejes de homotecia de las tres circunferencias dadas.

SEMEJANZA

SEMEJANZA
	En esta sección se analizará el concepto de semejanza de triángulos, con el fin de poder comprender su significado y aplicarlo en la solución de problemas.  Antes de profundizar dicho concepto, se interiorizará solamente el concepto de semejanza. Para lo que se quiere realizar, es necesario el conocimiento de lo que son lados correspondientes y lo que es proporcionalidad, para ello considere la figura que se muestra abajo en la que los lados correspondientes son respectivamente: c y c' (lado grande y lado grande) a y a' (lado pequeño y lado pequeño) b y b' (lado mediano y lado mediano) Observe que al realizar la división entre los lados homólogos (correspondientes) el resultado que se obtiene  es 2 (dividiendo 10 entre 5, 8 entre 4 y 6 entre 3), este valor recibe el nombre de razón y cuando la razón es igual en todos y cada uno de los lados correspondientes, se dice que los lados son proporcionales.  El concepto de semejanza en la vida cotidiana Cuando se utiliza el término de semejanza en el lenguaje cotidiano, ¿a qué nos estamos refiriendo?  Será acaso: Un objeto que se parece a otro Objetos de igual tamaño Objetos de igual forma Objetos exactamente iguales Es difícil poder seleccionar una opción que responda correctamente a la pregunta planteada, ya que de acuerdo al contexto de la conversación, el significado y utilización de la palabra semejanza, podría hacer referencia a objetos que se parecen en tamaño, forma o exactamente iguales, entre otros. Por ejemplo: El color del automóvil de Pedro es semejante al color del automóvil de María. La pelota de ping-pong es semejante a la de fútbol. La estatura de Marcela es semejante a la de Enrique. Los gemelos Baltodano Carrillo son tan semejantes que es difícil diferenciarlos. La llave que usa Sofía, para abrir la puerta de su casa, es semejante a la de su hermano José. Se podría seguir enunciando ejemplos, que ayuden a comprender el concepto de semejanza.  Note que en los ejemplos mencionados, el significado de semejanza hace referencia a una característica común entre los objetos o personas, tales como: color, tamaño y forma, entre otros.  Resumiendo: el uso del concepto de semejanza en el lenguaje cotidiano se refiera al "parecido", en una o más características, que existe entre dos personas u objetos. El concepto de semejanza en matemática El concepto de semejanza en matemática está muy ligado al concepto de proporcionalidad.  En esta ciencia se dice que dos objetos son semejantes si "guardan" una proporción entre ellos.  Veamos algunos ejemplos de la relación existente entre semejanza y proporcionalidad. Un geógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza un mapa.  Se percata que la escala utilizada en el mapa es de 1:5000, es decir, un centímetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad.  Luego de medir con una regla la distancia entre las dos ciudades, obtiene que es de 3cm, lo cual representa 15000 metros en la realidad.  Note que el mapa es una representación semejante a una porción del globo terráqueo, de allí que, deba guardar una misma proporción, con el fin de que las medidas que se tomen sobre él sean lo más cercanas a su valor real.  La construcción de modelos a escala (aviones, barcos y edificios, entre otros) requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, esto con el fin de que la maqueta sea lo más semejante posible al objeto real, además de guardar una proporcionalidad adecuada, en otras palabras, el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objeto tiene en la realidad. Dos fotografías de la misma persona, una de tamaño 3x4 pulgadas que luego es ampliada a 6x8 pulgadas.  Ambas son semejantes y tienen una misma proporción, ya que una es la ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo largo y con una misma razón, o sea, las divisiones de sus lados correspondientes son de igual valor. Dos anillos idénticos, cuyos diámetros son exactamente iguales, guardan la misma proporción y semejanza entre cada una de sus partes (circunferencia, radio, área, diámetro). El último ejemplo refleja que siempre, dos objetos que son del mismo tamaño y forma se pueden catalogar como semejantes.  Se debe tener cuidado con la afirmación inversa, es decir, objetos de diferente tamaño no son siempre semejantes, todo depende de que guarden o no la misma proporción, tal es el caso de los ejemplos uno, dos y tres.   En otras palabras, para que dos objetos sean semejantes bajo la concepción matemática, no siempre tienen que ser iguales. Resumiendo: dos figuras son semejantes si guardan una proporción entre cada una de sus partes respectivas. Semejanza de triángulos Ya se ha estudiado el concepto de semejanza, tanto en lenguaje cotidiano como en leguaje matemático.  Se aplicarán ambas definiciones para establecer el concepto de semejanza de triángulos. Se podría afirmar, con lo que ya se conoce, que dos triángulos son semejantes si poseen una misma forma y sus partes guardan una proporción. Veamos un ejemplo:
	Mueva los vértices rojos y responda las siguientes preguntas basándose en la figura de la derecha. Nota: Para volver a la figura inicial presione la tecla R.
	¿Cuáles son las medidas de los ángulos del triángulo ABC? ¿Cuáles son las medidas de los ángulos del triángulo DEF? ¿Qué relación existe entre ambas medidas? ¿Cuál es la razón existente entre los lados homólogos, o sea, los lados correspondientes? ¿Son proporcionales los lados homólogos? Cree su propia definición de triángulos semejantes y discútala con sus compañeros (as) y profesor (a).

Definición Dos triángulos son semejantes si los ángulos homólogos son congruentes y los lados homólogos son proporcionales. Ahora bien, sería muy tedioso estar verificando para cada par de triángulos estas dos condiciones.  Para comprobar si dos triángulos son semejantes existen criterios de semejanza, los cuales ayudan a determinar la semejanza o no de dos triángulos. Importante Cuando se dice que el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEF, se escribe: DABC ~ DDEF Es muy importante el orden en que se escriban los vértices de cada triángulo, ya que esto establece los ángulos y los lados homólogos. En el ejemplo anterior se tiene que: ·         El vértice A es homólogo con el vértice D. ·         El vértice B es homólogo con el vértice E. ·         El vértice C es homólogo con el vértice F. ·         Lado AB es homólogo con lado DE. ·         Lado BC es homólogo con lado EF. ·         Lado AC es homólogo con lado DF.

RAZONES Y PROPORCIONES

RAZONES Y PROPORCIONES

RAZONES

RAZÓN O RELACIÓN de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.

Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o diferencia y razón geométrica o por cociente.

RAZÓN ARITMÉTICA O POR DIFERENCIA de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades.

Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: separando las dos cantidades con el signo – o con un punto (.).

Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6 – 4 ó 6. 4 y se lee seis es a cuatro.

RAZÓN GEOMÉTRICA O POR COCIENTE de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades.

Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: en forma de quebrados, separados numerador y denominador por una raya horizontal o separadas las cantidades por el signo de división.

Así, la razón geométrica de 8 a 4 se escribe  u 8  4, y se lee, ocho es a cuatro.

Los términos de la razón geométrica se llaman antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 8   4, el antecedente es 8 y el consecuente 4.

 PROPIEDADES DE LAS RAZONES ARITMÉTICAS O POR DIFERENCIAS

Como la razón aritmética o por diferencia de dos cantidades no es más que la diferencia indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda resta o diferencia:

1.     Si al antecedente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda aumentada o disminuida en ese número.

2.     Si al consecuente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en el mismo número.

3.     Si al antecedente y consecuente de una razón aritmética se suma o resta un mismo número, la razón no varia.

PROPIEDADES DE LAS RAZONES GEOMÉTRICAS O POR COCIENTE

Como la razón geométrica o por cociente de dos cantidades no es más que una división indicada o un quebrado, las propiedades de las razones geométricas serán las propiedades de los quebrados:

1.     Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.

2.     Si el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número.

3.     Si el antecedente y el consecuente de una razón geométrica se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no varía.

EJERCICIOS

(En los ejercicios siguientes, cuando se diga simplemente razón o relación, se entenderá que la razón pedida es geométrica).

1.     Cite dos números cuya razón aritmética sea 6; dos números cuya razón geométrica sea  .

2.     Hallar la razón aritmética y geométrica de :

3.     a) 60 y 12. R. 48; 5. c) 5.6 y 3.5 R. 2.1; .

4.     Hallar la relación entre las edades de dos niños 10 y 14 años. R. .

5.     Cite tres pares de números que estén en la relación de 2 y 3.

6.     Cite tres pares de números cuya razón sea ; tres pares de números cuya relación sea de 1 a 6.

7.     La razón de dos números es . Si el menor es 20, ¿ cuál es el mayor? R. 24.

8.     El mayor de dos números es 42 y la relación entre ambos de 5 a 7. Hallar el número menor. R 30.

9.     Dos números son entre sí como 2 es a 17. Si el menor es 14, ¿cuál es el mayor? R. 119.

 PROPORCIONES ARITMÉTICAS.

EQUIDIFERENCIA O PROPORCIÓN ARITMÉTICA es la igualdad de dos diferencias o razones aritméticas.

Una equidiferencia se escribe de los dos modos siguientes:

a – b = c – d y a . b :: c . d y se lee a es a b como c es a d.

TÉRMINOS DE UNA EQUIDIFERENCIA

Los términos de una equidiferencia se llaman: extremos el primero y el cuarto, y medios el segundo y el tercero. También según lo visto antes se llaman antecedentes al primero y tercer términos y consecuentes al segundo y al cuarto.

Así, en la diferencia 20 – 5 = 21 – 6, 20 y 6 son los extremos, y 5 y 21 son los medios, 20 y 21 son los antecedentes, 5 y 6 son los consecuentes.

CLASES DE EQUIDIFERENCIAS

Hay dos clases: Equidiferencia discreta, que es aquella cuyos medios no son iguales, por ejemplo, 9 – 7 = 8 – 6 y equidiferencia contínua, que es la que tiene los medios iguales; por ejemplo, 10 – 8 = 8 – 6.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS EQUIDIFERENCIAS

TEOREMA

En toda equidiferencia la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.

Sea la equidiferencia a – b = c – d. Vamos a demostrar que a + d = c + b.

En efecto: sumando a los dos miembros de la equidiferencia dada a- - b = c – d un extremo y un medio, b + d, tendremos: a – b + b + d = c – d + b + d y simplificando, queda a + d = c + b que era lo que queríamos demostrar.

EJEMPLO

En la equidiferencia 8 – 6 = 9 – 7 tenemos: 8 + 7 = 9 + 6 o sea 15 = 15.

COROLARIOS

De la propiedad fundamental de las equidiferencias se derivan los siguientes corolarios:

1.     En toda equidiferencia un extremo es igual a la suma de los medios, menos el otro extremo.

2.     Sea la equidiferencia a – b = c – d. Vamos a demostrar que a = b + c – d.

En efecto: ya sabemos por la propiedad fundamental, que: a + d = b + c.

Restando d a ambos miembros, tendremos: a + d – d = b + c – d y simplificando a = b + c – d.

EJEMPLO

En 9 – 5 = 10 – 6 tenemos que 9 = 5 + 10 – 6.

3.     En toda equidiferencia un medio es igual a la suma de los extremos, menos el otro medio.

Sea la equidiferencia a – b = c – d. Vamos a demostrar que b = a + d – c.

En efecto: ya sabemos que a + d = b + c.

Restando c a los dos miembros, tendremos: a + b – c = b + c – c y simplificando b = a + d – c.

EJEMPLO

En 11 – 7 = 9 – 5 tenemos que 7 = 11 + 5 – 9.

MEDIA DIFERENCIA O MEDIA ARITMÉTICA es cada uno de los términos medios de una equidiferencia continua, o sea cada uno de los medios de una equidiferencia, cuando son iguales. Así, en la equidiferencia 8 – 6 = 6 – 4, la media diferencial es 6.

TEOREMA

La media diferencial es igual a la semisuma de los extremos.

Sea la equidiferencia a – b = b – c. Vamos a demostrar que 

En efecto: por la propiedad fundamental sabemos que a + c = b + b o sea a + c = 2b.

Dividiendo ambos miembros por 2 queda:  o sea = b que era lo que queríamos demostrar.

EJEMPLO

En 12 – 9 = 9 – 6 tenemos 9 = .

HALLAR TÉRMINOS DESCONOCIDOS EN EQUIDIFERENCIAS

1.     Hallar el término desconocido en 8 – 6 = 4 – x.

2.     Como el término desconocido es un extremo y un extremo es igual a la suma de los medios menos el extremo conocido, tendremos:

X = 6 + 4 – 8 = 2

Y queda, sustituyendo el valor de x en la equidiferencia: 8 – 6 = 4 – 2.

2) Hallar el término desconocido en 3.4 – x =  - 1.

Como el término desconocido es un medio y un medio es igual a la suma de los extremos menos el medio conocido, tendremos:

x = 3.4 + 1 

y sustituyendo el valor de x: 3.4 - 2  - 1.

3.     Hallar el término desconocido en 14 – x = x – 3.04

Aquí el término desconocido es la media diferencial, que es igual a la semisuma de los extremos, luego:

x = 8.52

y queda, sustituyendo el valor de x en la equidiferencia dada:

14 – 8.52 = 8.52 – 3.04

HALLAR EL TÉRMINO MEDIO DIFERENCIAL ENTRE DOS NÚMEROS

EJEMPLO

Hallar la media diferencial entre 8.04 y 4

No hay más que formar una equidiferencia continua cuyo medio diferencial sea x y los extremos los números dados y despejar x;

8.04 – x = x - 4

Despejando x: x= 6.02

Y sustituyendo el valor de x: 8.04 – 6.02 = 6.02 – 4

EJERCICIOS

PROPORCIONES GEOMÉTRICAS

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA o EQUICOCIENTE es la igualdad de dos razones geométricas o por cociente.

Una proporción geométrica se escribe de los dos modos siguientes:

o a : b :: c : d

y se lee: a es a b como c es a d.

TÉRMINOS DE UNA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

Los términos de una proporción geométrica se llaman: extremos el primero y el cuarto, y medios el segundo y tercero.

También, según lo visto antes, se llaman antecedentes el primero y el tercer términos, y consecuentes el segundo y cuarto términos.

Así, en la proporción  los extremos son 8 y 5, y los medios 10 y 4; los antecedentes son 8 y 10, y los consecuentes 4 y 5.

CLASES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS

Hay dos clases de proporciones geométricas: Proporción discreta, que es aquella cuyos medios no son iguales; por ejemplo, 8 : 4 :: 10 : 5, y proporción continua, que es la que tiene los medios iguales; por ejemplo, 20 : 10 :: 10 : 5.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS TEOREMA

En toda proporción geométrica el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Sea la proporción . Vamos a demostrar que a d = c b.

En efecto: multiplicando ambos miembros de la igualdad  por el producto de un medio y un extremo, b x d, para lo cual basta multiplicar solamente los numeradores, tendremos: 

Y simplificando queda: a x d = c x b que era lo que queríamos demostrar.

EJEMPLO

En la proporción  tenemos que 6 x 2 = 3 x 4 o sea 12 = 12

COROLARIOS

De la propiedad fundamental de las proporciones geométricas se derivan los siguientes corolarios:

1.     En toda proporción geométrica un extremo es igual al producto de los medios divididos por el otro extremo.

Sea la proporción  Vamos a demostrar que a =

En efecto: ya sabemos por la propiedad fundamental que a x d = b x c. Dividiendo los dos miembros de esta igualdad por d, tendremos:

y simplificando: a = 

EJEMPLO

En  tenemos 9 =

2) En toda proporción geométrica un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio.Sea la proporción

Vamos a demostrar que

En efecto: Ya sabemos que ad = bc.

Dividiendo ambos miembros de esta igualdad por c tendremos:

Y simplificando: 

EJEMPLO

En tenemos 

MEDIA PROPORCIONAL O MEDIA GEOMÉTRICA es cada uno de los términos medios de una proporción geométrica continua, o sea, cada uno de los términos medios de una proporción geométrica, cuando son iguales. Así, en la proporción 8:4::4:2 la media proporcional es 4.

TEOREMA

La media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Sea la proporción continua  vamos a demostrar que 

En efecto: ya sabemos por la propiedad fundamental que ac=bb, o sea, ac=b².

Extrayendo la raíz cuadrada a ambos miembros, tenemos: 

Y simplificando:  que era lo que queríamos demostrar.

EJEMPLO

En  tenemos que .

HALLAR TÉRMINOS DESCONOCIDOS EN PROPORCIONES GEOMÉTRICAS

EJEMPLOS

1.     Hallar el término desconocido en 8:4::10:x.

2.     Como el término desconocido es un extremo y un extremo es igual al producto de los medios dividido por el extremo conocido, tendremos:

. Sustituyendo el valor de la x en la proporción dada, queda: 8:4::10:5.

3.     Hallar el término desconocido en 10:1/6::x:4.

4.     Como el término desconocido es un medio y un medio es igual al producto de los extremos dividido por el medio conocido tendremos:

 Sustituyendo el valor de x en la proporción dada queda. 10:1/6::240:4.

5.     Hallar el término desconocido en 25:x::x.1/6.

Como el término desconocido es la media proporcional y la media proporcional es la raíz cuadrada del producto de los extremos, tendremos:

Sustituyendo el valor de x en la proporción dada, queda:

EJERCICIO

Hallar el término desconocido en:	Resultados
8 : x :: 16 : 4	2
X : 1/5 :: 6 : 2	3/5
x:0.04 :: 24 : 0.4	2.4
5: ½ :: x : 0.04	0.4.
14.25: 14 :: x : 0.002	57/28000
1/3:2/5::4.25:x	5 1/10.
0.04: 0.05 :: 0.06: x	0.075
8 ¼: 5 1/6 :: x: 3 1/7.	5 4/217
1/3:1/5::x:2/3	1 1/9
0.03:x::1/6:2/9	1/25
5 2/3:x::8 ¼:5/6	170/297
16:x::x:25	20
1/12:3 1/6::2/3:x	25 1/3
0.49:x::x: 0.64	0.56
0.45:1/12::10 2/9:x	1 217/243
¼:x::x:9/16	3/8
3.45:1/8::x:4.36	120.336
2.25:x::x:1.69	1.95

HALLAR EL TÉRMINO MEDIO PROPORCIONAL ENTRE DOS NÚMEROS

EJEMPLO

Hallar el término medio proporcional entre 16 y 81.

No hay más que formar una proporción geométrica continua cuyo medio proporcional sea x y los extremos los números dados y despejar x. 16:x::x:81,

Despejando x: .

Sustituyendo el valor de x en la proporción dada, queda: 16:36::36:81.

EJERCICIO

Hallar el término medio proporcional entre:	Solución
81 y 4.	18
¼ y 1/9.	1/6
64 y 25.	40
25/36 y 40/81	35/54
49 y 0.25.	3.5
0.0144 y 1/324	1/150
0.16. y 169	5.2
121/169 y 289/361.	187/247
0.0064 y 225	1.2
2 ¼ y 3 1/16.	2 5/8
144 y 0.0169	1.56
1 47/529 y 1 49/576.	1 2/23.

HALLAR UNA CUARTA PROPORCIONAL DE TRES NÚMEROS.

Cuarta proporcional es cualquiera de los cuatro términos de una proporción geométrica discreta. Así, en la proporción 8:16::5:10, cualquiera de estos cuatro términos es cuarta proporcional respecto de los otros tres.

EJEMPLO.

Hallar una cuarta proporcional de 20, 1/3 y 2/5.

Se forma una proporción geométrica con estas tres cantidades, poniendo de último extremo x y se despeja el valor de x: 20:1/3::2/5:x.

Despejando x: 

Sustituyendo el valor de x: 20:1/3::2/5:1/150.

EJERCICIO

Hallar el término medio proporcional entre:	Solución
5, 6, y 0.04.	0.04
150, 24 1/7 y 16 2/5	2 1679/2625.
5/6, ¼ y 2/3.	1/5
5/12, 0.004 y 3.24.	486/15625
1/16, 5 2/3 y 6 1/12	551 5/9
1/14, 5.34 y 16 2/5.	1226 8/125.

HALLAR UNA TERCERA PROPORCIONAL DE DOS NÚMEROS

Tercera o tercia proporcional es el primero o cuarto término de una proporción geométrica continua. Así, en la proporción 20:10::10:5. 20 es una tercia proporcional de 10 y 5, y 5 es una tercia proporcional de 20 y 10.

EJEMPLO.

Hallar una tercera proporcional entre 1/5 y 6.

Se forma una proporción continua, poniendo de término medio proporcional uno de los números dados y x de último extremo y se despeja x:

1/5:6::6:x.

Despejando x: 

Sustituyendo el valor de x: 1/5 : 6 :: 180.